БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

распределение вероятностей, к-рое при любом п=2,3, 4, ... может быть представлено как композиция (свертка) подинаковых распределений вероятностей. Определение Б. д. р. в равной степени применимо к распределениям на прямой, в конечномерных евклидовых пространствах и в нек-рых еще более общих случаях. Ниже рассматривается одномерный случай.

Характеристич. функции f(t).В. д. р. наз. безгранично делимыми. Каждая такая функция при любом пможет быть представлена как n-я степень некоторой другой характеристич. функции:

Примерами Б. д. р. могут служить нормальное распределение, Пуассона распределение, Коши распределение, "хu-квадрат" распределение. Проверять свойство безграничной делимости проще всего с помощью характеристич. функций. Композиция Б. д. р. и предел слабо сходящейся последовательности Б. д. р. суть снова Б. д. р.

Случайную величину, определенную на нек-ром вероятностном пространстве, наз. безгранично делимой, если при любом пона может быть представлена в виде суммы пнезависимых одинаково распределенных случайных величин, определенных на том же пространстве. Распределение каждой такой величины - Б. д. р. Обратное не всегда верно. Так, если взять дискретное вероятностное пространство, образованное неотрицательными целыми числами m=0, 1, 2, ... с приписанными им пуассоновскими вероятностями

то случайная величина не будет безгранично делимой, хотя ее распределение вероятностей (распределение Пуассона) есть Б.д.

Б. д. р. впервые появились в связи с изучением стохастически непрерывных однородных случайных процессов с независимыми приращениями (см. [1], [2], [3]). Так называют процессы удовлетворяющие требованиям: 1) 2) распределение вероятностей приращения зависит только от ; 3) при разности

являются взаимно независимыми случайными величинами; 4) для любого

при . Для такого процесса значение при любом будет иметь Б. д. р. и соответствующая характеристич. функция удовлетворяет соотношению:

Общий вид для таких процессов в предположении конечности дисперсий был найден А. Н. Колмогоровым [2] (частный случай приводимого ниже общего канонич. представления Б. д. р.).

Характеристич. функция Б. д. р. нигде не обращается в нуль, и ее логарифм (в смысле главного значения) допускает представление вида:

(так наз. каноническое представление Леви- Хинчина), где

- нек-рая действительная постоянная, - неубывающая функция ограниченной вариации с Подинтегральное выражение при принимают равным При любом выборе постоянной и функции с указанными выше свойствами формула (*) определяет логарифм характеристич. функции нек-рого Б. д. р. Соответствие между Б. д. р. и парами взаимно однозначно ивзаимно непрерывно. Последнее означает, что Б. д. р. слабо сходятся к предельному Б. д. р. тогда и только тогда, когда и слабо сходятся к при Примеры. Пусть

Тогда для нормального распределения с математич. ожиданием и дисперсией в формуле следует положить

Для распределения Пуассона с параметром имеем

Для распределения Коши с плотностью

имеем

Канонич. представление (*) удобно с чисто "технической" точки зрения (благодаря тому, что Gимеет ограниченную вариацию), однако функция Gне имеет прямого вероятностного истолкования. Поэтому используют и другую форму представления Б. д. р., допускающую непосредственную вероятностную интерпретацию. Пусть функции определены при соответственно, формулами:

Эти функции неубывающие, при и при в окрестности нуля функции могут неограниченно возрастать. Обозначая дополнительно через s ² скачок функции Gв нуле, формулу (*) можно переписать в виде:

(каноническое представление Леви). Функции описывают, грубо говоря, частоту скачков различного размера в однородном процессе с независимыми приращениями, для к-рого

Важная роль Б. д. р. в предельных теоремах теории вероятностей связана с тем, что эти и только эти распределения могут быть предельными для сумм независимых случайных величин, подчиненных требованию асимптотической пренебрегаемости. При этом рассматривают последовательность серий взаимно независимых случайных величин и затем подбирают взаимно независимые случайные величины имеющие Б. д. р. (так наз. сопровождающие Б. д. р.); характеристич. функция величины определяется по характеристич. функции величины так, чтобы выполнялось следующее основное свойство: распределения сумм

сходятся к предельному распределению (при нек-ром выборе констант ) тогда и только тогда, когда сходятся к предельному распределения сумм

Для симметричного распределения полагают

В других случаях выражение сложнее и содержит так наз. урезанные математич. ожидания Свойства Б. д. р. описывают в терминах функций, входящих в канонич. представления. Так, напр., безгранично делимая функция распределения непрерывна тогда

и только тогда, когда

Важным частным случаем Б. д. р. являются так наз. устойчивые распределения. См. также Безгранично делимых распределений разложение.

Лит.:[1] Finetti В. de, "Atti Accad. naz. Lincei. Mem. Cl. sci. fis., mat. e natur, Sez. 1", ser. 6, 1929, v. 10, p. 163-68; [2] Колмогоров А. Н., там же, 1932, v. 15, p. 866-69; [3] Levу P., "Ann. Scuola Norm, di Pisa", 1934, v. 3, p. 337-66; [4] Levу Р., Theorie de 1'addition des variables aleatoires, P., 1937; [5] Xинчин А. Я., Предельные законы для сумм независимых случайных величин, М.-Л., 1938;[6] Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.-Л., 1949; [7] Fisz M., "Ann. Math. Statist.", 1962, v. 33, p. 68-84; [8] Петров В. В., Суммы независимых случайных величин, М., 1972; [9] Сазонов В. В., Тутубалин В. Н., "Теория вероятн. и ее примен.", 1966, т. 11, с. 3-55. Ю. В. Прохоров.